fuqinho@競技プログラミング

コンテストやオンラインジャッジで出題されたクイズを頑張って解きます

POJ 1201 - Intervals

概要

整数の組(Ai,Bi,Ci)がN組与えられる。整数の集合Zを「全てのiについてAi以上Bi以下の整数とZの共通要素がCi個以上ある」という条件を満たすように作る時、Zの要素数の最小値を求めよ。(原文)

制約

  • N ≦ 50,000
  • An,Bn,Cn ≦ 50,000

解法

  • 不等式x + d ≧ y が、グラフ上でxからyへコストdの辺を張ることに対応するのを利用して、グラフの最短経路問題に帰着する。
  • d[i]をi以下の整数でZに含まれるものの個数とすると、下記の不等式が成り立つ。
    • d[i+1] ≧ d[i]
    • d[i+1] ≦ d[i] + 1
    • d[Bi] - d[Ai-1] ≧ Ci
  • それぞれ、下記の辺を張ることに対応する
    • i+1からiにコスト0の辺を張る
    • iからi+1にコスト1の辺を張る
    • BiからAi-1にコスト-Ciの辺を張る
  • 制約より、50000から0までの最短経路の-1倍が答えになる。負の辺を含むのでベルマンフォード法で求める。

コード

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// Used :  4364K 1282ms
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define REP(i,n) for(int i=0;i<(n);++i)

const int INF = 1000000000;
const int MAX_N = 50000;

struct Edge {
  int from, to, cost;
  Edge(int f, int t, int c): from(f), to(t), cost(c) {}
};

// d[50000] から d[0] への最短距離を求める
int bellman_ford(vector<Edge>& edges) {
  // dist[50000]を0とすると、コスト0の辺が全体に貼られてるので、
  // 明らかにdist[i]は0以下にはなる。よって0で初期化する。
  vector<int> dist(MAX_N+1, 0);
  REP(i, MAX_N+1) {
    bool updated = false;
    REP(j, edges.size()) {
      Edge& e = edges[j];
      if (dist[e.to] > dist[e.from] + e.cost) {
        dist[e.to] = dist[e.from] + e.cost;
        updated = true;
      }
    }
    if (!updated) {
      return dist[0];
    }
  }
  return INF;
}

int solve(vector<int>& a, vector<int>& b, vector<int>& c) {
  vector<Edge> edges;
  // d[i+1] - d[i] <= 1 より、iからi+1にコスト1の辺を張る
  for (int i = 0; i < MAX_N; i++) {
    edges.push_back(Edge(i, i+1, 1));
  }
  // d[i+1] >= d[i] より、iからi+1にコスト0の辺を張る
  for (int i = 0; i < MAX_N; i++) {
    edges.push_back(Edge(i+1, i, 0));
  }
  // d[b] - d[a-1] >= c より、bからa-1にコスト-cの辺を張る
  for (int i = 0; i < a.size(); i++) {
    edges.push_back(Edge(b[i], a[i]-1, -c[i]));
  }

  int min_dist = bellman_ford(edges);
  return -min_dist;
}

int main() {
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n; cin >> n;
  vector<int> a(n), b(n), c(n);
  REP(i, n) cin >> a[i] >> b[i] >> c[i];

  int ans = solve(a, b, c);
  cout << ans << endl;
}